4. Inverse Matrices

1. Inverse Matrices

• Square matrix is said to be invertible if its inverse matrix exists.
• Sqaure matrix that is not invertible is singular.

 

 

2. Properties of Inverse Matrix

P1. $A$ is invertible if and only if (iff) guassian elimination produces $n$ pivots ($A \mathbf{x} = \mathbf{b}$ 꼴에서 $A$의 열의 linear combination 관점에서 봤을 때 모든 $x_{i}$가 유일하게 존재한다는 말이므로 span위에 $\mathbf{b}$가 존재한다)

 

P2. $A$가 invertible이면, $A^{-1}$은 하나로 유일(unique)하다.

 

P3. $A$가 invertible이면, $A \mathbf{x} = \mathbf{b}$의 해는 유일하며, $\mathbf{x} = A^{-1} \mathbf{b}$이다.

 

P4. $A \mathbf{x} = \mathbf{0}$에 대해 $\mathbf{x} \neq \mathbf{0}$인 $\mathbf{x}$가 존재한다면, $A$는 singular이다 ($A$가 invertible이면 $\mathbf{x} = A^{-1} \mathbf{0} = \mathbf{0}$로 유일하기 때문)

 

P5. $ \begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix}$ is invertible if and only if (iff) $ad - bc \neq 0.$ (행렬식 파트에서 자세히 다룬다).

 

P6. diagonal matrix는 오직 (iff) 대각 원소가 모두 $0$이 아닐때 invertible하다.

 

P7. lower (or upper) triangular matrix는 오직 (iff) 대각 원소가 모두 $0$이 아닐 때 invertible하다.

 

P8. $(n \times n)$ 행렬 $A$와 $B$가 모두 invertible일때, $AB$는 invertible이며 $(AB)^{-1} = B^{-1}A^{-1}$이다.

 

P9. left inverse matrix는 right inverse matrix와 같다 ($BA = I, AC = I$라고 했을 때, $(BA)C = B \Rightarrow C = B$이므로)

 

 

역행렬은 가우스-조던 소거법으로 구할 수 있으며, 가우스-조던 소거법 도중 permanently breakdown이 발생하거나 행렬식이 $0$인 경우 singular이다.